Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x^{2} + 2$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x^{2} + 2$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} + e^{r x} = x^{2} + 2$

Passaggio 2.4

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} = x^{2} + 2$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1 = x^{2} + 2$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 1$ .

$e^{r x} (r^{2} + 1) = x^{2} + 2$

Passaggio 2.5

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} + 1 = x^{2} + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $r$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} = x^{2} + 2 - 1$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$r^{2} = x^{2} + 1$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = \sqrt{x^{2} + 1}$

$r = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{\sqrt{x^{2} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{x^{2} + 1} x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{\sqrt{x^{2} + 1} x} + c_{2} e^{- \sqrt{x^{2} + 1} x}$