Calcolo Esempi

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{1}{y}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Passaggio 1.1.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

Passaggio 1.2

Scomponi $6 x y$ da $12 x^{2} y - 6 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $6 x y$ da $12 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $6 x y$ da $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $6 x y$ da $6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

Passaggio 1.4.2

$6$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $y$ da $x y (2 x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

Passaggio 1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.4.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Passaggio 1.4.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Passaggio 1.4.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Passaggio 1.4.7.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

Passaggio 1.4.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

Passaggio 1.4.9

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

Passaggio 1.4.10

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

$12$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.3

$- 6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.4.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ come $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$