Calcolo Esempi

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Passaggio 1

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $(1 + e^{x}) y$ .

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + e^{x}$ e $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Passaggio 1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Passaggio 1.6

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Passaggio 1.7

Sostituisci $\frac{d y}{d x}$ a $y'$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Passaggio 2

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Passaggio 3

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Passaggio 4

Integra il lato sinistro.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Passaggio 5

Integra il lato destro.

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Passaggio 5.1

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Passaggio 6

Dividi per $1 + e^{x}$ ciascun termine in $(1 + e^{x}) y = C$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $1 + e^{x}$ ciascun termine in $(1 + e^{x}) y = C$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 + e^{x}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$