Calcolo Esempi

$(y - \frac{1}{y}) d x + (x + \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - \frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $y^{- 2}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2} + 0$

Passaggio 1.3.8

Somma $y^{- 2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + y^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x + \frac{x}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{x}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{x}{y^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{y^{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{y^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{1}{y^{2}} + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{y^{2}} + 1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{y^{2}} + 1 = \frac{1}{y^{2}} + 1$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - \frac{1}{y} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = y - \frac{1}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x + g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $(y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [(y - \frac{1}{y}) x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $(y - \frac{1}{y}) x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y - \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - \frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]$ .

$x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = - 1$ e $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$x (1 - \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$x (1 - \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$x (1 - - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (1 + 1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $y^{- 2}$ per $1$ .

$x (1 + y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.10

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $0$ .

$x (1 + y^{- 2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.3.11

Somma $y^{- 2}$ e $0$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (1 + y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (1 + \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot 1 + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.5.3.2

$x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 8.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} = x + \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x = \frac{x}{y^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $\frac{x}{y^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d y} + x + \frac{x}{y^{2}} - x - \frac{x}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} + 0 - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x}{y^{2}} = 0$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $\frac{x}{y^{2}}$ da $\frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 10.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 10.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (y - \frac{1}{y}) x + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = y x - \frac{1}{y} x + C$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{x}{y} + C$