Calcolo Esempi

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 6 x$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d v}{d x} + 2 v = 6 x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = \frac{6 x}{x}$

Passaggio 2.3.2

Dividi $6$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2 v}{x} = 6$

Passaggio 2.4

Scomponi $v$ da $\frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{2}{x} = 6$

Passaggio 2.5

Riordina $v$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{2}{x} v = 6$

Passaggio 3

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 3.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 3.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C_{1})}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C_{1}}$

Passaggio 3.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 4

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} v) = x^{2} \cdot 6$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{x}$ e $v$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x^{2} \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x \cdot x \frac{2 v}{x} = x^{2} \cdot 6$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + x (2 v) = x^{2} \cdot 6$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = x^{2} \cdot 6$

Passaggio 4.3

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d v}{d x} + 2 x v = 6 x^{2}$

Passaggio 5

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} v] = 6 x^{2}$

Passaggio 6

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} v] d x = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 7

Integra il lato sinistro.

$x^{2} v = \int 6 x^{2} d x$

Passaggio 8

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$x^{2} v = 6 \int x^{2} d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$x^{2} v = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$6$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} v = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 8.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} v = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 8.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} v = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 8.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$

Passaggio 9

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} v = 2 x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} v}{x^{2}} = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{2 x^{3}}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{3}$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2}} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x^{2} (2 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = \frac{2 x}{1} + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.4

Dividi $2 x$ per $1$ .

$v = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}$

Passaggio 11

Riscrivi l'equazione.

$d y = (2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}}) d x$

Passaggio 12

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 12.2

Applica la regola costante.

$y + C_{3} = \int 2 x + \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 12.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 12.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 12.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int \frac{C_{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 12.3.4

Poiché $C_{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 12.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 12.3.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 12.3.5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.5.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 12.3.5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} \int x^{- 2} d x$

Passaggio 12.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + C_{2} (- x^{- 1} + C_{5})$

Passaggio 12.3.7

Semplifica.

$y + C_{3} = x^{2} + C_{2} (- x^{- 1}) + C_{6}$

Passaggio 12.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{3} = x^{2} - C_{2} x^{- 1} + C_{6}$

Passaggio 12.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = x^{2} - C x^{- 1} + D$