Calcolo Esempi

$5 x^{2} (y d) x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 5 x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [5 x^{2} y]$

Passaggio 1.2

Poiché $5 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 x^{2} y$ rispetto a $y$ è $5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 x^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 x^{2}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{3} + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.4

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $5 x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$5 x^{2} = 3 x^{2}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$5 x^{2} = 3 x^{2}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $3 x^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $5 x^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{2} - (5 x^{2})}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $5 x^{2} y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $5 x^{2} y$ a $M$ .

$\frac{3 x^{2} - (5 x^{2})}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2} - 1 \cdot 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 - 1 \cdot 5 x^{2}}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 1 \cdot 5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 1 \cdot 5)}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 1 \cdot 5)$ .

$\frac{x^{2} (3 - 1 \cdot 5)}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{x^{2} (3 - 5)}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $5$ da $3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \cdot - 2}{5 x^{2} y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{5 y}$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci $5 x^{2} y$ a $M$ .

$- \frac{2}{5 y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{5 y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{5 y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{5 y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{2}{5}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{2}{5}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{2}{5} \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{2}{5} (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{2}{5} \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- \frac{2}{5} \ln (| y |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Riordina $\ln (| y |)$ e $\frac{2}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{2}{5} \ln (| y |))} + C$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica $\frac{2}{5} \ln (| y |)$ spostando $\frac{2}{5}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{2}{5}})} + C$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $- \ln ({| y |}^{\frac{2}{5}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{2}{5}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{2}{5}})}^{- 1} + C$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| y |}^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{2}{5} \cdot - 1} + C$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

$\frac{2}{5}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{2 \cdot - 1}{5}} + C$

Passaggio 5.5.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 2}{5}} + C$

Passaggio 5.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{2}{5}} + C$

Passaggio 5.5.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{2}{5}}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $5 x^{2} y d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $5 x^{2} y$ per $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$5 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $5 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$5$ e $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$x^{2} y \frac{5}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.2.2

$x^{2}$ e $\frac{5}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 5}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.2.3

$y$ e $\frac{x^{2} \cdot 5}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 5)}{y^{\frac{2}{5}}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Sposta $y^{\frac{2}{5}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y (x^{2} \cdot 5) y^{- \frac{2}{5}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $y$ per $y^{- \frac{2}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta $y^{- \frac{2}{5}}$ .

$y^{- \frac{2}{5}} y (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $y^{- \frac{2}{5}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y^{- \frac{2}{5}} y^{1} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{- \frac{2}{5} + 1} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y^{- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{\frac{- 2 + 5}{5}} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4.5

Somma $- 2$ e $5$ .

$y^{\frac{3}{5}} (x^{2} \cdot 5) d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 y^{\frac{3}{5}} x^{2} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.6

Riordina i fattori in $5 y^{\frac{3}{5}} x^{2}$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + (x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.7

Moltiplica $x^{3} + y^{3}$ per $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + (x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{2}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.8

Moltiplica $x^{3} + y^{3}$ per $\frac{1}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + \frac{x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 5 x^{2} y^{\frac{3}{5}} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = 5 x^{2} y^{\frac{3}{5}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $5 y^{\frac{3}{5}}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5 y^{\frac{3}{5}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 5 y^{\frac{3}{5}} \int x^{2} d x$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 5 y^{\frac{3}{5}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $5 y^{\frac{3}{5}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ come $5 y^{\frac{3}{5}} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 5 y^{\frac{3}{5}} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{3}{5}} \frac{5}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.2

$y^{\frac{3}{5}}$ e $\frac{5}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $y^{\frac{3}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 \cdot y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Moltiplica $5$ per $y^{\frac{3}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3} + C$

Passaggio 8.3.2.5

$\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + C$

Passaggio 8.3.3

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

$\frac{5}{3}$ e $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.2

$\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $\frac{5 x^{3}}{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{5 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{5}}]$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{5}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.6

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.8.2

Sottrai $5$ da $3$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5 x^{3}}{3} (\frac{3}{5} y^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.10

$\frac{3}{5}$ e $y^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} \cdot \frac{3 y^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $\frac{5 x^{3}}{3}$ per $\frac{3 y^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{5 x^{3} (3 y^{- \frac{2}{5}})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{15 x^{3} y^{- \frac{2}{5}}}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.13

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{15 x^{3} y^{- \frac{2}{5}}}{15} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.14

Sposta $y^{- \frac{2}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15 x^{3}}{15 y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.15

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 x^{3}}{15 y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.3.16

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Semplifica $\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} + (- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2

Espandi $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x \cdot x^{2} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - (x^{2} x^{1}) - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{2 + 1} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x (- x y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - (x \cdot x) (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x^{2} (- 1 y) - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 1 x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y (- x y) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.6

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.6.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - (y \cdot y) (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.6.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - y^{2} (- x) - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + 1 y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.9

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y \cdot y^{2}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.10

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.10.1

Sposta $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y)}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.10.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.3.10.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - (y^{2} y^{1})}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{2 + 1}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.4

Combina i termini opposti in $- x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y x^{2} + y^{2} x - y^{3}$ .

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Passaggio 12.1.1.2.4.1

Riordina i fattori nei termini di $x^{2} y$ e $- y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - x^{2} y + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.4.2

Sottrai $x^{2} y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + 0 + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.4.3

Somma $- x^{3} - x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.4.4

Riordina i fattori nei termini di $- x y^{2}$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{2} x + y^{2} x - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.4.5

Somma $- y^{2} x$ e $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} + 0 - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.4.6

Somma $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{3} - x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 12.1.1.3.1

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Sottrai $y^{3}$ da $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{3}}{y^{\frac{2}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1.4.1

Sposta $y^{\frac{2}{5}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{3} y^{- \frac{2}{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Moltiplica $y^{3}$ per $y^{- \frac{2}{5}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1.1.4.2.1

Sposta $y^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{d g}{d y} - (y^{- \frac{2}{5}} y^{3}) = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{2}{5} + 3} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{2}{5} + 3 \cdot \frac{5}{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.4

$3$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{- \frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 2 + 3 \cdot 5}{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1.1.4.2.6.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{- 2 + 15}{5}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.6.2

Somma $- 2$ e $15$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{13}{5}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $y^{\frac{13}{5}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{5}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $y^{\frac{13}{5}}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{5}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{13}{5}} d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{13}{5}} d y$

Passaggio 13.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{\frac{13}{5}}$ rispetto a $y$ è $\frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}}$ .

$g (y) = \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \frac{5}{3} y^{\frac{3}{5}} x^{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$ .

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

$\frac{5}{3}$ e $y^{\frac{3}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3} x^{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Passaggio 15.1.2

$\frac{5 y^{\frac{3}{5}}}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + \frac{5}{18} y^{\frac{18}{5}} + C$

Passaggio 15.1.3

$\frac{5}{18}$ e $y^{\frac{18}{5}}$ .

$f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + \frac{5 y^{\frac{18}{5}}}{18} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = \frac{5 y^{\frac{3}{5}} x^{3}}{3} + \frac{5 y^{\frac{18}{5}}}{18} + C$ .

$f (x, y) = \frac{5 x^{3} y^{\frac{3}{5}}}{3} + \frac{5 y^{\frac{18}{5}}}{18} + C$