Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{\ln (y)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{y}{\ln (y)}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{\ln (y)}{y}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} (x \frac{y}{\ln (y)})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$x$ e $\frac{y}{\ln (y)}$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $\ln (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln (y)}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y)$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Passaggio 1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x)$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (y)}{y} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{\ln (y)}{y} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{\ln (y)}{y} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = \ln (y)$ . Allora $d u = \frac{1}{y} d y$ , quindi $y d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = \ln (y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Passaggio 2.2.1.1.2

La derivata di $\ln (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (y)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln^{2} (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (y)$ .

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln^{2} (y)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln^{2} (y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln^{2} (y) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln^{2} (y) = x^{2} + 2 K$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\ln (y) = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.3.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.3.2.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Passaggio 3.3.2.3

Riscrivi $\ln (y) = \sqrt{x^{2} + 2 K}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Passaggio 3.3.2.4

Riscrivi l'equazione come $y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .

$y = e^{\sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Passaggio 3.3.2.5

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.3.2.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$

Passaggio 3.3.2.7

Riscrivi $\ln (y) = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}} = y$

Passaggio 3.3.2.8

Riscrivi l'equazione come $y = e^{- \sqrt{x^{2} + 2 K}}$ .