Calcolo Esempi

$2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \frac{d y}{d t} - y = 4 \sin (3 t)$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \frac{d y}{d t}}{2} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{4 \sin (3 t)}{2}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $2$ da $4 \sin (3 t)$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 (1)}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 (2 \sin (3 t))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = \frac{2 \sin (3 t)}{1}$

Passaggio 1.3.2.4

Dividi $2 \sin (3 t)$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{- y}{2} = 2 \sin (3 t)$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} y = 2 \sin (3 t)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{- 1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{2} d t}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{1}{2} d t}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$e^{- \frac{1}{2} t + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \frac{1}{2} t}$

Passaggio 2.4

$t$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + e^{- \frac{t}{2}} (\frac{- 1}{2} y) = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{- 1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Passaggio 3.2.3

$e^{- \frac{t}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2} y = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Passaggio 3.2.4

$y$ e $\frac{e^{- \frac{t}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = e^{- \frac{t}{2}} (2 \sin (3 t))$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- \frac{t}{2}} \frac{d y}{d t} - \frac{y e^{- \frac{t}{2}}}{2} = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] = 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{2}} y] d t = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- \frac{t}{2}} y = \int 2 e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int e^{- \frac{t}{2}} \sin (3 t) d t$

Passaggio 7.2

Sia $u = - \frac{t}{2}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2} d t$ , quindi $- 2 d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sia $u = - \frac{t}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Passaggio 7.2.1.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{t}{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (3 (- 2 u)) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.3.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - e^{u} \sin (- 6 u) \cdot 2 d u$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 \int - 2 e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Passaggio 7.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = 2 (- 2 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u)$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int e^{u} \sin (- 6 u) d u$

Passaggio 7.5.2

Riordina $e^{u}$ e $\sin (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \int \sin (- 6 u) e^{u} d u$

Passaggio 7.6

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \sin (- 6 u)$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (- 6 \cos (- 6 u)) d u)$

Passaggio 7.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} - (- 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u))$

Passaggio 7.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int e^{u} (\cos (- 6 u)) d u)$

Passaggio 7.8.2

Riordina $e^{u}$ e $\cos (- 6 u)$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \int \cos (- 6 u) e^{u} d u)$

Passaggio 7.9

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \cos (- 6 u)$ e $dv = e^{u}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - \int e^{u} (6 \sin (- 6 u)) d u))$

Passaggio 7.10

Poiché $6$ è costante rispetto a $u$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - (6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)))$

Passaggio 7.11

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u} - 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Passaggio 7.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) + 6 (- 6 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u))$

Passaggio 7.11.3

Moltiplica $- 6$ per $6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u}) - 36 \int e^{u} (\sin (- 6 u)) d u)$

Passaggio 7.12

Risolvendo $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ , troviamo che $\int e^{u} \sin (- 6 u) d u$ = $\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 (\cos (- 6 u) e^{u})}{37} + C)$

Passaggio 7.13

Riscrivi $- 4 (\frac{\sin (- 6 u) e^{u} + 6 \cos (- 6 u) e^{u}}{37} + C)$ come $- 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - 4 \frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Passaggio 7.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.1

$- 4$ e $\frac{e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = \frac{- 4 (e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u)))}{37} + C$

Passaggio 7.14.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{u} (\sin (- 6 u) + 6 \cos (- 6 u))}{37} + C$

Passaggio 7.15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (- 6 (- \frac{t}{2})) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Passaggio 7.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.16.1

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (6 \frac{t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Passaggio 7.16.2

$6$ e $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (- 6 (- \frac{t}{2})))}{37} + C$

Passaggio 7.16.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (6 \frac{t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.16.4

$6$ e $\frac{t}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{6 t}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.17.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.17.1.1

Scomponi $2$ da $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.17.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (\frac{3 t}{1}) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.1.2.4

Dividi $3 t$ per $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{6 t}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.17.2.1

Scomponi $2$ da $6 t$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.17.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 (1)}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{2 (3 t)}{2 \cdot 1}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (\frac{3 t}{1}))}{37} + C$

Passaggio 7.17.2.2.4

Dividi $3 t$ per $1$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + C$

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} e^{- \frac{1}{2} t} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$t$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{4}{37} \cdot (e^{- \frac{t}{2}} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))) + C$

Passaggio 8.1.2

$e^{- \frac{t}{2}}$ e $\frac{4}{37}$ .

$e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{- \frac{t}{2}}$ ciascun termine in $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{- \frac{t}{2}}$ ciascun termine in $e^{- \frac{t}{2}} y = - \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)) + C$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- \frac{t}{2}} y}{e^{- \frac{t}{2}}} = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- \frac{t}{2}} \cdot 4}{37} \cdot (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{- \frac{t}{2}}$ .

$y = \frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Scomponi $\frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37}$ da $\frac{- \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}}$ .

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}}}{37} \cdot \frac{- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3.1.3

Combina.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $e^{- \frac{t}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{4 e^{- \frac{t}{2}} (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37 e^{- \frac{t}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{4 (- 1 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t)))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$

Passaggio 8.2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 (\sin (3 t) + 6 \cos (3 t))}{37} + \frac{C}{e^{- \frac{t}{2}}}$