Calcolo Esempi

$(x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x = x^{2} y^{2} d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$x^{2} y^{2} d y = (x^{2} + 1) (y^{3} - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3} - 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{y^{3} - 1}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{3} - 1^{3}} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.3.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{3} - 1)} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $y^{3} - 1$ da $x^{2} (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((x^{2} + 1) (y^{3} - 1)) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y^{3} - 1$ da $(x^{2} + 1) (y^{3} - 1)$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{(y^{3} - 1) x^{2}} ((y^{3} - 1) (x^{2} + 1)) d x$

Passaggio 3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $x^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2}}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Allora $d u = 3 y^{2} d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 1) (y^{2} + y + 1)]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y - 1$ e $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.5

Somma $2 y + 1$ e $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.1.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Passaggio 4.2.1.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1])$

Passaggio 4.2.1.1.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (1 + 0)$

Passaggio 4.2.1.1.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.3.9.2

Moltiplica $y^{2} + y + 1$ per $1$ .

$(y - 1) (2 y + 1) + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(y - 1) (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y (2 y) - 1 (2 y) + (y - 1) \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$y (2 y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.4.4.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 (y^{1} y) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$2 (y^{1} y^{1}) - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 y^{1 + 1} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 y^{2} - 1 (2 y) + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y \cdot 1 - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 \cdot 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.8

Somma $- 2 y$ e $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 + y^{2} + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.9

Somma $2 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$3 y^{2} - y - 1 + y + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.10

Somma $- y$ e $y$ .

$3 y^{2} + 0 - 1 + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.11

Somma $3 y^{2}$ e $0$ .

$3 y^{2} - 1 + 1$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.12

Somma $- 1$ e $1$ .

$3 y^{2} + 0$

Passaggio 4.2.1.1.4.4.13

Somma $3 y^{2}$ e $0$ .

$3 y^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int x^{0} + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica $x^{0}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.3.3

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int 1 + x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int d x + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{- 2} d x$

Passaggio 4.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x + C_{2} - x^{- 1} + C_{3}$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |) = x - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| (y - 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Espandi $(y - 1) (y^{2} + y + 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Combina i termini opposti in $y \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot 1 - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $y \cdot 1$ e $- 1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y + 1 y - 1 y^{2} - 1 y - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.2

Sottrai $1 y$ da $1 y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} + 0 - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.1.3

Somma $y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y \cdot y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1} y^{2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{1 + 2} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y \cdot y - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - 1 y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.3

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 \cdot 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.1

Combina i termini opposti in $y^{3} + y^{2} - y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.1.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} + 0 - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.1.2

Somma $y^{3}$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| y^{3} - 1 |)) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| y^{3} - 1 |)$ .

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\ln (| y^{3} - 1 |)}{3} = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 (x - \frac{1}{x} + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $3 (x - \frac{1}{x} + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + 3 (- \frac{1}{x}) + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $3 (- \frac{1}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - 3 \frac{1}{x} + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x + \frac{- 3}{x} + 3 C$

Passaggio 5.2.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y^{3} - 1 |)} = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (| y^{3} - 1 |) = 3 x - \frac{3}{x} + 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} = | y^{3} - 1 |$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$ .

$| y^{3} - 1 | = e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y^{3} - 1 = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C}$

Passaggio 5.5.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} = \pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1$

Passaggio 5.5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per scrivere $3 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 x \cdot x - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.1

Scomponi $3$ da $3 x \cdot x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 x \cdot x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) - 3}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x) + 3 (- 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x \cdot x) + 3 (- 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1} x^{1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{1 + 1} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.3.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + 3 C} + 1}$

Passaggio 5.5.5.4

Per scrivere $3 C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{3 C x}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.6.1

Scomponi $3$ da $3 (x + 1) (x - 1) + 3 C x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.6.1.1

Scomponi $3$ da $3 (x + 1) (x - 1)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 C x}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.1.2

Scomponi $3$ da $3 C x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.1.3

Scomponi $3$ da $3 ((x + 1) (x - 1)) + 3 (C x)$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 ((x + 1) (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x (x - 1) + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.6.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - x + x - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} + 0 - 1 + C x)}{x}} + 1}$

Passaggio 5.5.5.6.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{\frac{3 (x^{2} - 1 + C x)}{x}} + 1}$