Calcolo Esempi

$\ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{x}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} (\ln (x) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{x} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x} \ln (x) d x = \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x} \ln (x) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\ln (x)$ .

$\int \frac{\ln (x)}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.2.2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u d u = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x) = \ln (| y |) + C$