Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 1 + 4 y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 + 4 y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $1 + 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 4 y^{2}} (1 + 4 y^{2})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4$ da $1 + 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4$ da $1$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4$ da $4 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4$ da $4 (\frac{1}{4}) + 4 (y^{2})$ .

$\int \frac{1}{4 (\frac{1}{4} + y^{2})} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{4} + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{1}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{1}{2}} \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (1 \cdot 2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (\frac{y}{\frac{1}{2}}) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.5.1.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (y \cdot 2) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.5.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi $\frac{1}{4} (2 \arctan (2 y) + C_{1})$ come $\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$\frac{2}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{2} \arctan (2 y) = x + K$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (2 y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\arctan (2 y)$ .

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arctan (2 y)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Passaggio 3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (2 y) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\arctan (2 y) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Passaggio 3.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$\arctan (2 y) = 2 x + 2 K$

Passaggio 3.2

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$2 y = \tan (2 x + 2 K)$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \tan (2 x + 2 K)$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\tan (2 x + 2 K)}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\tan (2 x + K)}{2}$