Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \sec^{2} (7 x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \sec^{2} (7 x) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (7 x) d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u = 7 x$ . Allora $d u = 7 d x$ , quindi $\frac{1}{7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sia $u = 7 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.1.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \sec^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Passaggio 2.3.5

$\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{\sec^{2} (u)}{7} d u$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{7}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{7}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\frac{1}{7} \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 2.3.7

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \frac{1}{7} (\tan (u) + C_{3})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (u) + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) - \frac{1}{7} \tan (7 x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.10

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - \frac{1}{7} \tan (7 x) + \ln (| x |) + C$