Calcolo Esempi

$(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - 2 y^{3} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3} + 1]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 y^{3} + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y^{3}$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $- 6 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 3 x y^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + x^{3}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x y^{2} + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 3 x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 6 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} + 3 y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 6 y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2}$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 6 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $3 x^{2} + 3 y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3 x y^{2} + x^{3}$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3 x y^{2} + x^{3}$ a $N$ .

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2} + 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 6 y^{2} - (3 x^{2}) - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - (3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 y^{2} - 3 x^{2} - 3 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $3 y^{2}$ da $- 6 y^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.5

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} - 9 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) - 9 y^{2}}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Scomponi $3$ da $- 9 y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (- 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{3 x y^{2} + x^{3}}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $x$ da $3 x y^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $3 x y^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x^{3}}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $x$ da $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2} - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- x^{2} - 3 y^{2}$ e $3 y^{2} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{2}$ .

$\frac{3 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $- (x^{2} + 3 y^{2})$ come $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (3 y^{2} + x^{2})}$

Passaggio 4.3.4.5

Riordina i termini.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Passaggio 4.3.4.6

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{x (x^{2} + 3 y^{2})}$

Passaggio 4.3.4.7

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(- 2 y^{3} + 1) d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 2 y^{3} + 1$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(- 2 y^{3} + 1) \frac{1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 2 y^{3} + 1$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2 y^{3} + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{3}$ .

$\frac{- (2 y^{3}) + 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3}) - 1 (- 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.6

Riscrivi $- (2 y^{3} - 1)$ come $- 1 (2 y^{3} - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y^{3} - 1)}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) d y = 0$

Passaggio 6.8

Moltiplica $3 x y^{2} + x^{3}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + (3 x y^{2} + x^{3}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.9

Moltiplica $3 x y^{2} + x^{3}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 x y^{2} + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.10

Scomponi $x$ da $3 x y^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Scomponi $x$ da $3 x y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x^{3}}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.10.2

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.10.3

Scomponi $x$ da $x (3 y^{2}) + x \cdot x^{2}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.11.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.11.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{x (3 y^{2} + x^{2})}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} d x + \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int 3 y^{2} + x^{2} d y$

Passaggio 8.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int 3 y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Passaggio 8.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 \int y^{2} d y + \int x^{2} d y)$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x^{2} d y)$

Passaggio 8.5

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x^{2} y + C)$

Passaggio 8.6

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + x^{2} y + C)$

Passaggio 8.7

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ e $g (x) = y^{3} + x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y] + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} + x^{2} y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.6

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + y (2 x)) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{x^{2}} (0 + 2 \cdot y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.10

Somma $0$ e $2 y x$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.11

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} (y x) + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.12

$y$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}} x + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.13

$\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{y \cdot 2 x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.14

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{2 \cdot y x}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.15

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.15.1

Scomponi $x$ da $2 y x$ .

$\frac{x (2 y)}{x^{2}} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.15.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 y)}{x \cdot x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.16

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.16.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.16.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.17

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.20

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{2 y}{x} + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.21

Per scrivere $(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y}{x} + \frac{(y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 3}) x}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.23

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 (x^{1} x^{- 3}))}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.24

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{1 - 3})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.25

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 x^{- 2})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 y + (y^{3} + x^{2} y) (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 y + y^{3} (- 2 \frac{1}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y + y^{3} \frac{- 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 y + y^{3} (- \frac{2}{x^{2}}) + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.3

$y^{3}$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 \cdot y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- 2 \frac{1}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.5

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y \frac{- 2}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + x^{2} y (- \frac{2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.7

$x^{2}$ e $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + y (- \frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}})}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.8

$y$ e $\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (x^{2} \cdot 2)}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{y (2 \cdot x^{2})}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 \cdot y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.11

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 y x^{2}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.11.2

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - (2 y)}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 y - \frac{2 y^{3}}{x^{2}} - 2 y}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.13

Sottrai $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} + 0}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.14

Somma $- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.15

Riscrivi $\frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{2}}}{x}$ come un prodotto.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.16

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{2 y^{3}}{x^{2}}$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.17

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.17.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.17.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.17.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2 y^{3}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.17.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = - \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Somma $\frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} + \frac{2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Somma $- 2 y^{3}$ e $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{1}{x^{3}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x^{3}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 13.3

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Passaggio 13.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Passaggio 13.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 13.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Passaggio 13.6.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Passaggio 13.6.2.3

Moltiplica $2$ per $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (y^{3} + x^{2} y) - \frac{1}{2 x^{2}} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $y^{3} + x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.1.2

Scomponi $y$ da $y^{3} + x^{2} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.2.1

Scomponi $y$ da $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + x^{2} y}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.1.2.2

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot y^{2} + y x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.1.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y^{2} + y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{y (y^{2} + x^{2})}{x^{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y (y^{2} + x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{(y \cdot y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{1} y^{2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{(y^{1 + 2} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + y x^{2}) \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{3} \cdot 2 + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + y x^{2} \cdot 2 - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{3} + 2 \cdot (y x^{2}) - 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.5.6

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \frac{2 y^{3} + 2 y x^{2} - 1}{2 x^{2}} + C$