Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 5} y = {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x - 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x - 5} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{1}{x - 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sia $u = x - 5$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sia $u = x - 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Differenzia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 1.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.1.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$e^{\ln (| x - 5 |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x - 5)}$

Passaggio 1.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x - 5$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x - 5$ .

$(x - 5) \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) (\frac{1}{x - 5} y) = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{x - 5}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + (x - 5) \frac{y}{x - 5} = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = (x - 5) {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x - 5$ per ${(x - 5)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x - 5$ per ${(x - 5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Eleva $x - 5$ alla potenza di $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{1 + 2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = {(x - 5)}^{3}$

Passaggio 2.4

Usa il teorema binomiale.

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 2.5.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $25$ per $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Passaggio 2.5.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$x \frac{d y}{d x} - 5 \frac{d y}{d x} + y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [(x - 5) y] = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 5) y] d x = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$(x - 5) y = \int x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125 d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$(x - 5) y = \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 15 x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Passaggio 6.3

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 15$ fuori dall'integrale.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 \int x^{2} d x + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 75 x d x + \int - 125 d x$

Passaggio 6.5

Poiché $75$ è costante rispetto a $x$ , sposta $75$ fuori dall'integrale.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 \int x d x + \int - 125 d x$

Passaggio 6.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 125 d x$

Passaggio 6.7

Applica la regola costante.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Passaggio 6.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 125 x + C$

Passaggio 6.8.1.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} + C - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 75 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 125 x + C$

Passaggio 6.8.2

Semplifica.

$(x - 5) y = \frac{x^{4}}{4} - 5 x^{3} + \frac{75 x^{2}}{2} - 125 x + C$

Passaggio 6.8.3

Riordina i termini.

$(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$

Passaggio 7

Dividi per $x - 5$ ciascun termine in $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $x - 5$ ciascun termine in $(x - 5) y = \frac{1}{4} x^{4} - 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2} - 125 x + C$ .

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 5) y}{x - 5} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = \frac{\frac{x^{4}}{4}}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $\frac{x^{4}}{4}$ per $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} + \frac{- 5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75}{2} x^{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.5

$\frac{75}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{\frac{75 x^{2}}{2}}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x - 5} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.7

Moltiplica $\frac{75 x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{x - 5}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} + \frac{- 125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.2

Per scrivere $- \frac{5 x^{3}}{x - 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3}}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 (x - 5)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica $\frac{5 x^{3}}{x - 5}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.3.2

Riordina i fattori di $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{4}}{4 (x - 5)} - \frac{5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} - 5 x^{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.5.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.5.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 5 x^{3} \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.5.1.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x + x^{3} (- 5 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 5 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.5.2

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.6

Per scrivere $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 (x - 5)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.7.1

Moltiplica $\frac{75 x^{2}}{2 (x - 5)}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{2 (x - 5) \cdot 2} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{x^{3} (x - 20)}{4 (x - 5)} + \frac{75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.9.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (x - 20) + 75 x^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.9.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} (x - 20)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + 75 x^{2} \cdot 2}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $75 x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x (x - 20)) + x^{2} (75 \cdot 2)$ .

$y = \frac{x^{2} (x (x - 20) + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} + x \cdot - 20 + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9.4

Sposta $- 20$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 \cdot x + 75 \cdot 2)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.9.5

Moltiplica $75$ per $2$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.10

Per scrivere $- \frac{125 x}{x - 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x}{x - 5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.11

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 (x - 5)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.11.1

Moltiplica $\frac{125 x}{x - 5}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.11.2

Riordina i fattori di $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)}{4 (x - 5)} - \frac{125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150) - 125 x \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (x^{2} - 20 x + 150)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) - 125 x \cdot 4}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.1.2

Scomponi $x$ da $- 125 x \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.1.3

Scomponi $x$ da $x (x (x^{2} - 20 x + 150)) + x (- 125 \cdot 4)$ .

$y = \frac{x (x (x^{2} - 20 x + 150) - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x (x \cdot x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.3.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x (x^{1} x^{2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x (x^{1 + 2} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.3.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{x (x^{3} + x (- 20 x) + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + x \cdot 150 - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.3.3

Sposta $150$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x \cdot x + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.4.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 (x \cdot x) + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 \cdot x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 125 \cdot 4)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.5

Moltiplica $- 125$ per $4$ .

$y = \frac{x (x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.13.6

Scomponi $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.6.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

$q = \pm 1$

Passaggio 7.3.13.6.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 500, \pm 2, \pm 250, \pm 4, \pm 125, \pm 5, \pm 100, \pm 10, \pm 50, \pm 20, \pm 25$

Passaggio 7.3.13.6.3

Sostituisci $10$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $10$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.6.3.1

Sostituisci $10$ nel polinomio.

$10^{3} - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$1000 - 20 \cdot 10^{2} + 150 \cdot 10 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$1000 - 20 \cdot 100 + 150 \cdot 10 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.4

Moltiplica $- 20$ per $100$ .

$1000 - 2000 + 150 \cdot 10 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.5

Sottrai $2000$ da $1000$ .

$- 1000 + 150 \cdot 10 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.6

Moltiplica $150$ per $10$ .

$- 1000 + 1500 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.7

Somma $- 1000$ e $1500$ .

$500 - 500$

Passaggio 7.3.13.6.3.8

Sottrai $500$ da $500$ .

$0$

Passaggio 7.3.13.6.4

Poiché $10$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 10$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500}{x - 10}$

Passaggio 7.3.13.6.5

Dividi $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ per $x - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.13.6.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$10$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$150 x$

$500$

Passaggio 7.3.13.6.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$

Passaggio 7.3.13.6.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Passaggio 7.3.13.6.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 10 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Passaggio 7.3.13.6.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Passaggio 7.3.13.6.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Passaggio 7.3.13.6.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 10 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$

Passaggio 7.3.13.6.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$100 x$

Passaggio 7.3.13.6.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 10 x^{2} + 100 x$

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$

Passaggio 7.3.13.6.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$

Passaggio 7.3.13.6.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Passaggio 7.3.13.6.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $50 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$

Passaggio 7.3.13.6.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							+	$50 x$	-	$500$

Passaggio 7.3.13.6.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $50 x - 500$

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$

Passaggio 7.3.13.6.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$50$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$20 x^{2}$	+	$150 x$	-	$500$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$100 x$
							+	$50 x$	-	$500$
							-	$50 x$	+	$500$
										$0$

Passaggio 7.3.13.6.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 10 x + 50$

Passaggio 7.3.13.6.6

Scrivi $x^{3} - 20 x^{2} + 150 x - 500$ come insieme di fattori.

$y = \frac{x ((x - 10) (x^{2} - 10 x + 50))}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5}$

Passaggio 7.3.14

Per scrivere $\frac{C}{x - 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C}{x - 5} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 7.3.15

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4 (x - 5)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.15.1

Moltiplica $\frac{C}{x - 5}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{(x - 5) \cdot 4}$

Passaggio 7.3.15.2

Riordina i fattori di $(x - 5) \cdot 4$ .

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50)}{4 (x - 5)} + \frac{C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x (x - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 10) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.3

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 10 \cdot x) (x^{2} - 10 x + 50) + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.4

Espandi $(x^{2} - 10 x) (x^{2} - 10 x + 50)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$y = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{2 + 2} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4} + x^{2} (- 10 x) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.3.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + x^{2} \cdot 50 - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.4

Sposta $50$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 \cdot x^{2} - 10 x \cdot x^{2} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 (x^{2} x^{1}) - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{2 + 1} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 x (- 10 x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x \cdot x - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.17.5.7.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 (x \cdot x) - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} - 10 \cdot - 10 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.8

Moltiplica $- 10$ per $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 10 x \cdot 50 + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.5.9

Moltiplica $50$ per $- 10$ .

$y = \frac{x^{4} - 10 x^{3} + 50 x^{2} - 10 x^{3} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.6

Sottrai $10 x^{3}$ da $- 10 x^{3}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 50 x^{2} + 100 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.7

Somma $50 x^{2}$ e $100 x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + C \cdot 4}{4 (x - 5)}$

Passaggio 7.3.17.8

Sposta $4$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2} - 500 x + 4 C}{4 (x - 5)}$