Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Allora $d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - \frac{π}{12}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $- \frac{π}{12}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{π}{12}$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.3

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.9

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 2.3.9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.3.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.3.9.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.10

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 2.3.12

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{12}$ nel numeratore.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2.3

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.4

$\sin (2 t - \frac{π}{6})$ e $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.5

Applica la proprietà distributiva.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.6.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.6.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{12}$ nel numeratore.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.1.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.1.3

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.1.4

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.6.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ nel numeratore.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $s$ con $6$ in $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ .

$6 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 6$ .

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 6$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.3

Sottrai $\frac{π}{6}$ da $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.4

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 6$

Passaggio 4.2.1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 6$

Passaggio 4.2.1.2

Sottrai $\frac{π}{3}$ da $0$ .

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 6$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$1 + K = 6 + \frac{π}{3}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 6 + \frac{π}{3} - 1$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $1$ da $6$ .

$K = 5 + \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $5 + \frac{π}{3}$ a $K$ in $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $5 + \frac{π}{3}$ a $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 5 + \frac{π}{3}$

Passaggio 5.2

Combina i termini opposti in $4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 5 + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $- \frac{π}{3}$ e $\frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 5$

Passaggio 5.2.2

Somma $4 t$ e $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 5$