Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia

$v = y^{1 - n}$ , dove

$n$ è l'esponente di

$y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per

$y$ .

$y = v^{- 1}$

Passaggio 3

Trova la derivata di

$y$ rispetto a

$x$ .

$y' = v^{- 1}$

Passaggio 4

Trova la derivata di

$v^{- 1}$ rispetto a

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di

$v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove

$f (x) = 1$ e

$g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Poiché

$1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Moltiplica

$v$ per

$0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.2

Sottrai

$\frac{d}{d x} [v]$ da

$0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi

$\frac{d}{d x} [v]$ come

$v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci

$- \frac{v'}{v^{2}}$ a

$\frac{d y}{d x}$ e

$v^{- 1}$ a

$y$ nell'equazione originale

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica per

$- v^{2}$ ciascun termine in

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica ogni termine in

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$ per

$- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di

$v^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.2

Scomponi

$v^{2}$ da

$- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.3

Moltiplica

$\frac{d v}{d x}$ per

$1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- 1} (- v^{2}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} v^{2} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.5

Moltiplica

$v^{- 1}$ per

$v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.5.1

Sposta

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{2} v^{- 1}) = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.5.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - v^{2 - 1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.5.3

Sottrai

$1$ da

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.2.1.6

Semplifica

$- v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - v = - x {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in

${(v^{- 1})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{- 2} v^{2}$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica

$v^{- 2}$ per

$v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.3.1

Sposta

$v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v^{2} v^{- 2})$

Passaggio 6.1.3.3.2

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2 - 2}$

Passaggio 6.1.3.3.3

Sottrai

$2$ da

$2$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{0}$

Passaggio 6.1.3.4

Semplifica

$- x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula

$e^{\int P (x) d x}$ , dove

$P (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore

$e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per

$e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- x)$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- x)$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$

Passaggio 6.3.4

Riordina i fattori in

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - e^{- x} x$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - x e^{- x}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - x e^{- x}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - x e^{- x} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} v = \int - x e^{- x} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - \int x e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.2

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = x$ e

$d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Passaggio 6.7.3

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Passaggio 6.7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.4.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Passaggio 6.7.4.2

Moltiplica

$\int e^{- x} d x$ per

$1$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Passaggio 6.7.5

Sia

$u = - x$ . Allora

$d u = - d x$ , quindi

$- d u = d x$ . Riscrivi usando

$u$ e

$d$

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1

Sia

$u = - x$ . Trova

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1.1

Differenzia

$- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 6.7.5.1.2

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- x$ rispetto a

$x$ è

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 6.7.5.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$- 1$

Passaggio 6.7.5.2

Riscrivi il problema usando

$u$ e

$d u$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Passaggio 6.7.6

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$u$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.7.7

L'integrale di

$e^{u}$ rispetto a

$u$ è

$e^{u}$ .

$e^{- x} v = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Passaggio 6.7.8

Riscrivi

$- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ come

$- (- x e^{- x} - e^{u}) + C$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C$

Passaggio 6.7.9

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u$ con

$- x$ .

$e^{- x} v = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C$

Passaggio 6.7.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} v = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Passaggio 6.7.10.2

Moltiplica

$- (- x e^{- x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$e^{- x} v = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C$

Passaggio 6.7.10.2.2

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} - - e^{- x} + C$

Passaggio 6.7.10.3

Moltiplica

$- - e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.3.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C$

Passaggio 6.7.10.3.2

Moltiplica

$e^{- x}$ per

$1$ .

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$

Passaggio 6.8

Dividi per

$e^{- x}$ ciascun termine in

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Dividi per

$e^{- x}$ ciascun termine in

$e^{- x} v = x e^{- x} + e^{- x} + C$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Elimina il fattore comune di

$e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Dividi

$v$ per

$1$ .

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.1

Elimina il fattore comune di

$e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.1.1.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.1.2

Elimina il fattore comune di

$e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$v = x + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$v = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7

Sostituisci

$y^{- 1}$ a

$v$ .

$y^{- 1} = x + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$