Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 10 - x$ , $y (0) = - 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (10 - x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 10 - x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 10 - x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 10 d x + \int - x d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} + \int - x d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - \int x d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = 10 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $- 1$ in $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ .

$- 1 = - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Passaggio 4.2

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$0 + 10 \cdot 0 + K = - 1$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $10$ per $0$ .

$0 + 0 + K = - 1$

Passaggio 4.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = - 1$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = - 1$

Passaggio 5

Sostituisci $- 1$ a $K$ in $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 1$ a $K$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x - 1$

Passaggio 5.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 10 x - 1$