Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \cos^{2} (y)$ , $y (0) = \frac{π}{4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos (x) \cos^{2} (y))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\cos^{2} (y)$ da $\cos (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \cos (x))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \cos (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ a $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché la derivata di $\tan (y)$ è $\sec^{2} (y)$ , l'integrale di $\sec^{2} (y)$ è $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sin (x) + K = \tan (y)$ .

$\sin (x) + K = \tan (y)$

Passaggio 3.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = \tan (y) - K$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\tan (y) - K)$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'equazione come $\arcsin (\tan (y) - K) = x$ .

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Passaggio 3.5

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $\tan (y)$ dall'interno dell'arcoseno.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Passaggio 3.6

Somma $K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Passaggio 3.7

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Passaggio 3.8

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\arcsin (\tan (y) - K) = x$

Passaggio 3.9

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $\tan (y)$ dall'interno dell'arcoseno.

$\tan (y) - K = \sin (x)$

Passaggio 3.10

Somma $K$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (y) = \sin (x) + K$

Passaggio 3.11

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$y = \arctan (\sin (x) + K)$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $\frac{π}{4}$ in $y = \arctan (\sin (x) + K)$ .

$\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$ .

$\arctan (\sin (0) + K) = \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $K$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\sin (0) + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica $\sin (0) + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Passaggio 5.3.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = \arcsin (\frac{π}{4})$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{π}{4})$ .

$K = 0.90333911$

Passaggio 5.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Passaggio 5.6

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 5.6.1

Rimuovi le parentesi.

$K = 3.14159265 - 0.90333911$

Passaggio 5.6.2

Rimuovi le parentesi.

$K = (3.14159265) - 0.90333911$

Passaggio 5.6.3

Sottrai $0.90333911$ da $3.14159265$ .

$K = 2.23825354$

Passaggio 5.7

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{π}{4} = \arctan (\sin (0) + K)$ vera.

$Nessuna soluzione$