Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x e^{y}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{e^{y}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Combina.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{x e^{y}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $e^{y}$ da $x e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{4 \cdot 1}{e^{y} x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 \cdot 1}{x}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$e^{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$e^{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$

Passaggio 3.3

Espandi $\ln (x^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$y = \ln (4 \ln (x) + C)$

Passaggio 3.4

Semplifica $4 \ln (x)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln (\ln (x^{4}) + C)$