Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $2 - 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $2 - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) - 2 y}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- y)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = (2 - 2 y) \frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $2 - 2 y$ per $\frac{x^{2} + 1}{2 (1 - y)}$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 - 2 y) (x^{2} + 1)}{2 (1 - y)}$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $2 - 2 y$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $2$ da $(2 - 2 y) (x^{2} + 1)$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((1 - y) (x^{2} + 1))}{2 (1 - y)}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (x^{2} + 1)}{1 - y}$

Passaggio 1.2.4.2

Dividi $x^{2} + 1$ per $1$ .

$(2 - 2 y) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(2 - 2 y) d y = (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 d y + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola costante.

$2 y + C_{1} + \int - 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$2 y + C_{1} - 2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 y + C_{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica.

$2 y - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 y + \frac{- 2}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 y + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y + \frac{- 1}{1} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$2 y - y^{2} + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2.6

Riordina i termini.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$- y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- y^{2} + 2 y = \frac{x^{3}}{3} + x + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $\frac{x^{3}}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} = x + K$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x = K$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} + 2 y - \frac{x^{3}}{3} - x - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $3$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- y^{2}) + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 y^{2} + 3 (2 y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{3}$ nel numeratore.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} + 3 (- x) + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x + 3 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 x - 3 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta $- 3 x$ .

$- 3 y^{2} + 6 y - x^{3} - 3 K - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.4

Sposta $6 y$ .

$- 3 y^{2} - x^{3} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Passaggio 3.3.5

Riordina $- 3 y^{2}$ e $- x^{3}$ .

$- x^{3} - 3 y^{2} - 3 K + 6 y - 3 x = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = - 3$ , $b = 6$ e $c = - x^{3} - 3 K - 3 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Scomponi $12$ da $36 - 12 x^{3} - 36 K - 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.5.1

Scomponi $12$ da $36$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 12 x^{3} - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.2

Scomponi $12$ da $- 12 x^{3}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) - 36 K - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.3

Scomponi $12$ da $- 36 K$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) - 36 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.4

Scomponi $12$ da $- 36 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.5

Scomponi $12$ da $12 (3) + 12 (- x^{3})$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.6

Scomponi $12$ da $12 (3 - x^{3}) + 12 (- 3 K)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5.7

Scomponi $12$ da $12 (3 - x^{3} - 3 K) + 12 (- 3 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.6

Riscrivi $12 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)$ come $2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.6.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} - 3 K - 3 x)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - x^{3} + K - 3 x)}}{3}$