Calcolo Esempi

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x^{2} y + 2 y + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y + 2 y + 5]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} y + 2 y + 5$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{2} y$ rispetto a $y$ è $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + \frac{d}{d y} [5]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $2 x^{2} + 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} + 2$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 2 x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x^{2} + 2$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x^{2} + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 x^{2} + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x^{2} + 2 = 6 x^{2} + 2$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x^{2} + 2$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $6 x^{2} + 2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 x^{3} + 2 x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 x^{3} + 2 x$ a $N$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2} + 2)}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 - (6 x^{2}) - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 1 \cdot 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 6 x^{2} - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $6 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 - 2}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.2.6

Somma $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{3} + 2 x}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (x (x^{2} + 1))}$

Passaggio 4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{2}}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- 2 x)}{x (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Passaggio 5.4

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 5.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 5.4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 5.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 5.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 5.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 5.9

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Passaggio 5.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 1 |)} + C$

Passaggio 5.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.1

Semplifica $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 1 |}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.11.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 1 |}^{- 1} + C$

Passaggio 5.11.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 1 |} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(2 x^{2} y + 2 y + 5) d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x^{2} y + 2 y + 5$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$(2 x^{2} y + 2 y + 5) \frac{1}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2 x^{2} y + 2 y + 5$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2 x^{3} + 2 x$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + (2 x^{3} + 2 x) \frac{1}{x^{2} + 1} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2 x^{3} + 2 x$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} + 1} d y = 0$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + \frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = 2 x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 x y + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y + g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Dividi la frazione $\frac{2 x^{2} y + 2 y + 5}{x^{2} + 1}$ in due frazioni.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{2} y + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1

Scomponi $2 y$ da $2 x^{2} y + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.1.1

Scomponi $2 y$ da $2 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.2.2.1.2

Scomponi $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2}) + 2 y (1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.2.2.1.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} = \frac{2 y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.2.2.2.2

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$

Passaggio 12.1.3

Combina i termini opposti in $2 y + \frac{5}{x^{2} + 1} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $2 y$ da $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \frac{5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $0$ e $\frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{5}{x^{2} + 1}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$g (x) = 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 13.4

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 13.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$g (x) = 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 13.6

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C$ .

$g (x) = 5 (\arctan (x) + C)$

Passaggio 13.7

Semplifica.

$g (x) = 5 \arctan (x) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = 2 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y + 5 \arctan (x) + C$