Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = 1$ , $y = e^{x} - 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$y' - y = 1$

Passaggio 2

Trova $y'$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} - 1)$

Passaggio 2.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = e^{x}$

Passaggio 3

Sostituisci nell'equazione differenziale data.

$e^{x} - (e^{x} - 1) = 1$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} - e^{x} - - 1 = 1$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{x} - e^{x} + 1 = 1$

Passaggio 4.2

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$0 + 1 = 1$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $1$ .

$1 = 1$

Passaggio 5

La soluzione data soddisfa l'equazione differenziale data.

$y = e^{x} - 1$ è una soluzione a $y' - y = 1$