Calcolo Esempi

$y (x - 1) d y - x (y - 1) d x = 0$

Passaggio 1

Somma $x (y - 1) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y (x - 1) d y = x (y - 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x - 1$ da $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{y - 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y - 1$ da $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y - 1$ da $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{x - 1} x d x$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{x - 1}$ e $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi $y$ per $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Passaggio 4.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y - 1$

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Passaggio 4.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.4

Sia $u_{1} = y - 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sia $u_{1} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 4.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 4.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 4.2.4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{x}{x - 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $x$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Passaggio 4.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Passaggio 4.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Passaggio 4.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.3.3

Applica la regola costante.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.3.4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.3.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = x + \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = x + \ln (| x - 1 |) + C$