Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$