Calcolo Esempi

$(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - x y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- x y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - x$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x - y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- x + 2 y = 2 x - y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- x + 2 y = 2 x - y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- x + 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 x - y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x^{2} - x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x^{2} - x y$ a $N$ .

$\frac{- x + 2 y - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + 2 y - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{- x + 2 y - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$\frac{- 3 x + 2 y + y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.5

Somma $2 y$ e $y$ .

$\frac{- 3 x + 3 y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.6

Scomponi $3$ da $- 3 x + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) + 3 y}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Scomponi $3$ da $3 y$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (y)}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.2.6.3

Scomponi $3$ da $3 (- x) + 3 (y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x^{2} - x y}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x - x y}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - 1 y)}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{3 (- x + y)}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- x + y$ e $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{3 (- (x) + y)}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.2

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (- y))}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{3 (- (x - y))}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $- (x - y)$ come $- 1 (x - y)$ .

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 1 (x - y))}{x (x - y)}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{- 3}{x}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 3 \ln (| x |)$ spostando $- 3$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(y^{2} - x y) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y^{2} - x y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(y^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $y^{2} - x y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y^{2} - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $y$ da $y^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - x y}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y (- x)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x^{2} - x y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $x^{2} - x y$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x^{2} - x y}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x (x - y)}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (y - x)}{x^{3}} d x + \frac{x - y}{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - y}{x^{2}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{x - y}{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} \int x - y d y$

Passaggio 8.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (\int x d y + \int - y d y)$

Passaggio 8.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C + \int - y d y)$

Passaggio 8.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - \int y d y)$

Passaggio 8.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Passaggio 8.6

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ e $g (x) = x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x y - \frac{y^{2}}{2}] + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y - \frac{y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2}]) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.5

Poiché $- \frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.6

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y \cdot 1 + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.9

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} (y + 0) + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.10

Somma $y$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.11

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.12.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.16

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.17

Per scrivere $(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{(x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 3}) x^{2}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.19

Moltiplica $x^{- 3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.19.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 (x^{2} x^{- 3}))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{2 - 3})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.3.19.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 x^{- 1})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y + (x y - \frac{y^{2}}{2}) (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + x y (- 2 \frac{1}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + x y \frac{- 2}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y + x y (- \frac{2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.3

$x$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y + y (- \frac{x \cdot 2}{x}) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.4

$y$ e $\frac{x \cdot 2}{x}$ .

$\frac{y - \frac{y (x \cdot 2)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{y - \frac{y (2 \cdot x)}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{y - \frac{2 \cdot y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.7

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - \frac{2 y x}{x} - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.7.2

Dividi $2 y$ per $1$ .

$\frac{y - (2 y) - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- 2 \frac{1}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.9

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{- 2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y - 2 y - \frac{y^{2}}{2} (- \frac{2}{x})}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{y - 2 y + 1 \frac{y^{2}}{2} \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.12

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.13

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2}$ per $\frac{2}{x}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.14

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$\frac{y - 2 y + \frac{2 \cdot y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.15.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 2 y + \frac{2 y^{2}}{2 x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.15.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y - 2 y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.16

Sottrai $2 y$ da $y$ .

$\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.17

Moltiplica $\frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- y + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.18

Combina.

$\frac{x (- y + \frac{y^{2}}{x})}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.19

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.20

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.20.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (- y) + x \frac{y^{2}}{x}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.20.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x \cdot x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.21

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.21.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.21.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1} x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.21.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{1 + 2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.21.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.22

Per scrivere $\frac{d g}{d x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\frac{x (- y) + y^{2}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.3.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (- y) + y^{2} + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 11.5.4

Riordina i termini.

$\frac{y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{y (y - x)}{x^{3}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Passaggio 12.1.2

Semplifica $y (y - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Riscrivi.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = 0 + 0 + y (y - x)$

Passaggio 12.1.2.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y (y - x)$

Passaggio 12.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y \cdot y + y (- x)$

Passaggio 12.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.4.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} + y (- x)$

Passaggio 12.1.2.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y^{2} - x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x$

Passaggio 12.1.3

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y + x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2}$

Passaggio 12.1.3.2

Somma $x y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} \frac{d g}{d x} = y^{2} - y x - y^{2} + x y$

Passaggio 12.1.3.3

Combina i termini opposti in $y^{2} - y x - y^{2} + x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.3.1

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + 0 + x y$

Passaggio 12.1.3.3.2

Somma $- y x$ e $0$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - y x + x y$

Passaggio 12.1.3.3.3

Riordina i fattori nei termini di $- y x$ e $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = - x y + x y$

Passaggio 12.1.3.3.4

Somma $- x y$ e $x y$ .

$x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 12.1.4

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} \frac{d g}{d x} = 0$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Passaggio 12.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x}}{x^{3}} = \frac{0}{x^{3}}$

Passaggio 12.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{3}}$

Passaggio 12.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.3.1

Dividi $0$ per $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} (x y - \frac{y^{2}}{2}) + C$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Scomponi $y$ da $x y - \frac{y^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$f (x, y) = \frac{y x - \frac{y^{2}}{2}}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x + y (- \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.1.3

Scomponi $y$ da $y x + y (- \frac{y}{2})$ .

$f (x, y) = \frac{y (x - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.2

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.3

$x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{y}{2})}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x \cdot 2 - y}{2}}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{2 x - y}{2}}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.4

$y$ e $\frac{2 x - y}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (2 x - y)}{2}}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Passaggio 15.6

Combina.

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y) \cdot 1}{2 x^{2}} + C$

Passaggio 15.7

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x - y)}{2 x^{2}} + C$