Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{3 y + 1}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $3 y + 1$ .

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $3 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = (3 y + 1) \frac{4 x}{3 y + 1}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$(3 y + 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(3 y + 1) d y = 4 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 3 y + 1 d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int y d y + \int d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int d y = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + y + C_{2} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.2.5.3

Riordina i termini.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int 4 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ come $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + y = 2 x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{3}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + y = 2 x^{2} + K$

Passaggio 3.2

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} = K$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3 y^{2}}{2} + y - 2 x^{2} - K = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 y^{2} + 2 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 4 x^{2} - 2 K = 0$

Passaggio 3.3.3

Sposta $2 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Passaggio 3.3.4

Riordina $3 y^{2}$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Passaggio 3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 2$ e $c = - 4 x^{2} - 2 K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.6

Scomponi $4$ da $4 + 48 x^{2} + 24 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.6.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 48 x^{2} + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.6.2

Scomponi $4$ da $48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 24 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.6.3

Scomponi $4$ da $24 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.6.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (12 x^{2})$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (1 + 12 x^{2}) + 4 (6 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.7

Riscrivi $4 (1 + 12 x^{2} + 6 K)$ come $2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 12 x^{2} + 6 K)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{6}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + 6 K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + 6 K + 1}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 12 x^{2} + K}}{3}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{12 x^{2} + K}}{3}$