Calcolo Esempi

$e^{x} d x - y d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $e^{x} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y d y = - e^{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - y d y = \int - e^{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int y d y = \int - e^{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{2} = - e^{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} y^{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y^{2}}{2}) = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y^{2}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3

Moltiplica.

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Passaggio 3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 2 (- e^{x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 2 (- e^{x} + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = - 2 (- e^{x}) - 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y^{2} = 2 e^{x} - 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} - 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $2 e^{x} - 2 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) - 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 (- K)}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (e^{x}) + 2 (- K)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} - K)}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$