Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{3 y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Scomponi $y$ da $3 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.1

Scomponi $y$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (3 y)}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Passaggio 1.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Passaggio 1.2

Metti in evidenza $\frac{y}{x}$ in $\frac{3 y}{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\frac{y}{x}$ da $\frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{3}{2} + \frac{x}{2 y}$

Passaggio 1.2.2

Riordina $\frac{y}{x}$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione differenziale come $f (\frac{y}{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Metti in evidenza $\frac{x}{y}$ in $\frac{x}{2 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $\frac{x}{y}$ da $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.3.1.2

Riordina $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{x}{y}$ come ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Passaggio 6.1.1.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{3 V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Per scrivere $- V$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{3 V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Scomponi $V$ da $3 V - V \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Scomponi $V$ da $3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Scomponi $V$ da $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Scomponi $V$ da $V \cdot 3 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (3 - 2)}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3.3.2

Moltiplica $V$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1

Per scrivere $\frac{V}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.2

Moltiplica $\frac{V}{2}$ per $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V \cdot V}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.4

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V^{2}}{2 V}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.6

Moltiplica $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{2 V}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} (\frac{1 + V^{2}}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $\frac{1 + V^{2}}{2 V}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.2

Elimina il fattore comune di $2 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.2.1

Scomponi $2 V$ da $2 V x$ .

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V (x)}$

Passaggio 6.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{2 V x}$

Passaggio 6.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $1 + V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1 + V^{2}}{x}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2 V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $V$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{V}{1 + V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u = 1 + V^{2}$ . Allora $d u = 2 V d V$ , quindi $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u = 1 + V^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + V^{2}$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $1$ rispetto a $V$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Passaggio 6.2.2.2.1.5

Somma $0$ e $2 V$ .

$2 V$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + V^{2}$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + V^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 6.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$

Passaggio 6.3.3

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + V^{2} |}{| x |}$

Passaggio 6.3.5

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} = e^{C}$

Passaggio 6.3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 + V^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 + V^{2} | = e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.4

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x |$ .

$| 1 + V^{2} | = | x | e^{C}$

Passaggio 6.3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + V^{2} = \pm | x | e^{C}$

Passaggio 6.3.5.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x | e^{C}$ .

$1 + V^{2} = \pm e^{C} | x |$

Passaggio 6.3.5.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$V^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

Passaggio 6.3.5.4.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$V = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

Passaggio 6.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

Passaggio 6.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C | x | - 1}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$

Passaggio 8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\pm \sqrt{C | x | - 1}) x$