Calcolo Esempi

$\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\cos^{2} (x)$ ciascun termine in $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $\cos^{2} (x)$ ciascun termine in $\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x} = y + 3$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos^{2} (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Dividi $y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{\cos^{2} (x) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.1.6

Frazioni separate.

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3.1.7

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + \frac{3}{1} \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.1.3.1.8

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $y \sec^{2} (x) + 3 \sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $y \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + 3 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $3 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $\sec^{2} (x)$ da $\sec^{2} (x) y + \sec^{2} (x) \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) (y + 3)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (\sec^{2} (x) (y + 3))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $y + 3$ da $\sec^{2} (x) (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) \sec^{2} (x))$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 3} d y = \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 3$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2.3

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\tan (x) + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y + 3 |) = \tan (x) + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\tan (x) + C} = | y + 3 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$ .

$| y + 3 | = e^{\tan (x) + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{\tan (x) + C}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\tan (x) + C} - 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\tan (x) + C}$ come $e^{\tan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\tan (x)} e^{C} - 3$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\tan (x)}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\tan (x)} - 3$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\tan (x)} - 3$