Calcolo Esempi

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (2 x^{2} - x y + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x^{2} - x y + 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = 2 x^{2} - x y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x^{2} - x y + 1] + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - x y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $y$ è $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + 0) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.8

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \cdot 1$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2 x^{2} - x y + 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + 2 x^{2} - x y + 1$

Passaggio 1.4

Sottrai $x y$ da $y (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - x y - x y + 1$

Passaggio 1.4.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 x y + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.4

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x^{2} - 2 x y + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $2 x^{2} - 2 x y + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $x - y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $x - y$ a $N$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{x - y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 0}{x - y}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $2 x^{2} - 2 x y$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x - y}$

Passaggio 4.3.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2} - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x - y}$

Passaggio 4.3.2.3.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x - y}$

Passaggio 4.3.2.3.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$2 x$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int 2 x d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 5.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ come $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Passaggio 5.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Passaggio 5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$ per il fattore di integrazione $e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $y (2 x^{2} - x y + 1)$ per $e^{x^{2}}$ .

$y (2 x^{2} - x y + 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y (2 x^{2}) + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 y x^{2} + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 y x^{2} - y (x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$(2 y x^{2} - y (x y) + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta $y$ .

$(2 y x^{2} - (y \cdot y) x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$(2 y x^{2} - y^{2} x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.5

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x - y$ per $e^{x^{2}}$ .

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) e^{x^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Applica la proprietà distributiva.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}) d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y + \int - y e^{x^{2}} d y$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C + \int - y e^{x^{2}} d y$

Passaggio 8.3

Poiché $- e^{x^{2}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- e^{x^{2}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} \int y d y$

Passaggio 8.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.5

Semplifica.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.2

Riscrivi $- 1 (\frac{1}{2})$ come $- (\frac{1}{2})$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.3

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.4

$e^{x^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.6.5

$y^{2}$ e $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Riordina i termini.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}) + C$

Passaggio 8.7.2

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2}) e^{x^{2}} + C$

Passaggio 8.7.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x e^{x^{2}} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.10

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.3.11

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.2

$e^{x^{2}}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.3

Poiché $- \frac{y^{2}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - 2 \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.7

$- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{- 2 y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.8

$e^{x^{2}}$ e $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.9

$\frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2}$ e $x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.10

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.10.1

Scomponi $2$ da $e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- y^{2}) x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.4.10.2.4

Dividi $e^{x^{2}} (- y^{2}) x$ per $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.6.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 11.6.3

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 12.1.1

Sottrai $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.2

Sottrai $y e^{x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.3

Somma $y^{2} x e^{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$ .

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Passaggio 12.1.4.1

Riordina i fattori nei termini di $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ e $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.2

Sottrai $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ da $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.3

Somma $- y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.4

Sottrai $y e^{x^{2}}$ da $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + 0 + y^{2} x e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.5

Somma $- y^{2} x e^{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Passaggio 12.1.4.6

Somma $- y^{2} x e^{x^{2}}$ e $y^{2} x e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$ .

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

Passaggio 15.1.2

$e^{x^{2}}$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$

Passaggio 15.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$