Calcolo Esempi

$(x^{2} - 3 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x^{2} - 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - 3 y^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 (2 y)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 y$

Passaggio 1.4

Sottrai $6 y$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Passaggio 2.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 6 y = 2 y$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 6 y = 2 y$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 6 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 y - (2 y)}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2 x y$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2 x y$ a $N$ .

$\frac{- 6 y - (2 y)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $y$ da $- 6 y - 1 \cdot 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $- 6 y$ .

$\frac{y \cdot - 6 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 6 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 6 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 6 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{y (- 6 - 2)}{2 x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Sottrai $2$ da $- 6$ .

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 8}{2 x}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Passaggio 4.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Passaggio 4.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 4}{x}$

Passaggio 4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 4 \ln (| x |)$ spostando $- 4$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x^{2} - 3 y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x^{2} - 3 y^{2}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{2} - 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{2} - 3 y^{2}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + 2 x y d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2 x y$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $x$ da $2 x y$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + 2 y \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.5

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + y \frac{2}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.6

$y$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + \frac{y \cdot 2}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} d x + \frac{2 y}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x^{3}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{2 y}{x^{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{2}{x^{3}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{2}{x^{3}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3}} \int y d y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 8.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $\frac{2}{x^{3}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $\frac{2}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $\frac{2}{x^{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x^{3} \cdot 2} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x^{3}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $2$ per $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x^{3}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x^{3}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y^{2} + C$

Passaggio 8.3.2.5

$\frac{1}{x^{3}}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{2}}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$y^{2} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y^{2} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$y^{2} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y^{2} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$y^{2} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{2} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$y^{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y^{2} \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.5.2.3

$y^{2}$ e $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.5.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 11.5.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Sottrai $\frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y^{2}}{x^{4}} - \frac{x^{2} - 3 y^{2}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y^{2} - (x^{2} - 3 y^{2})}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y^{2} - x^{2} - (- 3 y^{2})}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y^{2} - x^{2} + 3 y^{2}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Combina i termini opposti in $- 3 y^{2} - x^{2} + 3 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.4.1

Somma $- 3 y^{2}$ e $3 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Somma $- x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.5.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} \cdot - 1}{x^{2} x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x^{2}}$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 13.3

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Passaggio 13.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Passaggio 13.6

Riscrivi $- x^{- 1} + C$ come $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x} + C$