Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2} e^{- y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (3 x^{- 2} e^{- y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Passaggio 1.2.2

$3$ e $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $e^{- y}$ da $x^{- 2} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$

Passaggio 1.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.5

$3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.1.1

Nega l'esponente di $e^{- y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ come $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{y} + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = - \frac{3}{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (- \frac{3}{x} + K)$