Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Passaggio 2.4

Rimuovi le parentesi.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Passaggio 2.5

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $e^{r x}$ da $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $e^{r x}$ da $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Passaggio 2.5.5

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Passaggio 2.6

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $r^{2} - 2 r - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $r - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $r - 4$ uguale a $0$ .

$r - 4 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r = 4$

Passaggio 3.6

Imposta $r + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $r + 2$ uguale a $0$ .

$r + 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = - 2$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(r - 4) (r + 2) = 0$ vera.

$r = 4, - 2$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$