Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.3.2

Combina.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3} x}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Combina.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (x)}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{3}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{4}$ e $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Passaggio 3.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$