Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 12 e^{- 4 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 12 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 12 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 12 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 12 \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 12 \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 2.3.3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 12 \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 12 (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 12 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{4}$ e $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{- 12}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 3}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$y + C_{1} = - 3 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 3 (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$y + C_{1} = - 3 e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x$ .

$y + C_{1} = - 3 e^{- 4 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - 3 e^{- 4 x} + K$