Calcolo Esempi

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ come $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $0$ per $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Passaggio 6.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C - 1 = 1$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 + 1$

Passaggio 6.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$C = 2$

Passaggio 7

Sostituisci $2$ a $C$ in $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $2$ a $C$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$