Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = e^{x^{2}}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 2 x$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 2 x d x}$

Passaggio 1.2

Integra $- 2 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x^{2}}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x^{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- x^{2}}$ per $e^{x^{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2} + x^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{0}$

Passaggio 2.4

Semplifica $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori in $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 1$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 1$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- x^{2}} y = \int d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$e^{- x^{2}} y = x + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- x^{2}}$ ciascun termine in $e^{- x^{2}} y = x + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- x^{2}}$ ciascun termine in $e^{- x^{2}} y = x + C$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x^{2}}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$