Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla al metodo di Bernoulli.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Passaggio 1.4

Dividi $3 y^{\frac{4}{3}}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1.5

Scomponi $y$ da $\frac{6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{6}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1.6

Riordina $y$ e $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{\frac{4}{3}}$ .

$v = y^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- 3}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- 3}$

Passaggio 5

Trova la derivata di $v^{- 3}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata di $v^{- 3}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 3}]$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{3}}]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{3}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Passaggio 5.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{3} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Passaggio 5.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Moltiplica $v^{3}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Passaggio 5.4.4.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{3}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Passaggio 5.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Passaggio 5.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y' = - \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Passaggio 5.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $v^{2}$ e $v^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $v^{2}$ da $3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]$ .

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{6}}$

Passaggio 5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Scomponi $v^{2}$ da $v^{6}$ .

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Passaggio 5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{3 \frac{d}{d x} [v]}{v^{4}}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{3 v'}{v^{4}}$

Passaggio 6

Sostituisci $- \frac{3 v'}{v^{4}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- 3}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 v'}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica per $- \frac{v^{4}}{3}$ ciascun termine in $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ per $- \frac{v^{4}}{3}$ .

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}}$ nel numeratore.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{v^{4}}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.3

Scomponi $3$ da $- 3 \frac{d v}{d x}$ .

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- v^{4}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $v^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.2.1

Scomponi $v^{4}$ da $- v^{4}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.4

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} v^{- 3} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{1}{v^{3}} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.7

Moltiplica $\frac{1}{v^{3}}$ per $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{6}{v^{3} x}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.8.2

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (- 2)}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 \cdot - 2}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.9

Elimina il fattore comune di $v^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.2.1.9.1

Scomponi $v^{3}$ da $v^{3} x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.9.2

Scomponi $v^{3}$ da $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.10

$\frac{- 2}{x}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.2.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Passaggio 7.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{v^{4}}{3}$ nel numeratore.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Passaggio 7.1.1.3.1.2

Scomponi $3$ da $3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 ({(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}) \frac{- v^{4}}{3}$

Passaggio 7.1.1.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Passaggio 7.1.1.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- v^{4})$

Passaggio 7.1.1.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} v^{4}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 3 (\frac{4}{3})} v^{4}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 (- 1) \frac{4}{3}} v^{4}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 \cdot - 1 \frac{4}{3}} v^{4}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 1 \cdot 4} v^{4}$

Passaggio 7.1.1.3.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 4} v^{4}$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $v^{- 4}$ per $v^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.3.3.1

Sposta $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - (v^{4} v^{- 4})$

Passaggio 7.1.1.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{4 - 4}$

Passaggio 7.1.1.3.3.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{0}$

Passaggio 7.1.1.3.4

Semplifica $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $v$ da $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 1$

Passaggio 7.1.3

Riordina $v$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 1$

Passaggio 7.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 7.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 7.2.2.5

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 7.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 7.2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 7.2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.3

$\frac{2}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 v}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 7.7.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 7.7.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.7.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 7.7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 7.7.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.1

Riscrivi $- (- x^{- 1} + C)$ come $- - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - - \frac{1}{x} + C$

Passaggio 7.7.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 1 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 7.7.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{1}{x} + C$

Passaggio 7.8

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1.1

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} = C$

Passaggio 7.8.1.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} - C = 0$

Passaggio 7.8.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ e $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{1}{x} - C = 0$

Passaggio 7.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $v$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.2.1

Somma $\frac{1}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{1}{x}$

Passaggio 7.8.2.2

Somma $C$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} + C$

Passaggio 7.8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 7.8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 7.8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1

Semplifica $(\frac{1}{x} + C) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.4.2.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$v = x + C x^{2}$

Passaggio 7.8.4.2.1.3

Riordina $x$ e $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + x$

Passaggio 8

Sostituisci $y^{- \frac{1}{3}}$ a $v$ .

$y^{- \frac{1}{3}} = C x^{2} + x$