Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 9$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $t$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 5 t^{2} - 3$ . Allora $d u = 10 t d t$ , quindi $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 5 t^{2} - 3$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t^{2} - 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{2}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$10 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $10 t$ e $0$ .

$10 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{10}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{10}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{10}$ e $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $20$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $10$ da $20$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $10$ da $10$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $1$ e $s$ con $9$ in $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ .

$9 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 9$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 9$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 9$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} + K = 9$

Passaggio 4.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + K = 9$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 9 - 8$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$K = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $K$ in $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.5

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.7

Moltiplica $125$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.8

Moltiplica $- 3$ per $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.9

Applica la regola del prodotto a $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.10

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.11

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.11.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.12

Moltiplica $25$ per $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.13

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.14

Moltiplica $9$ per $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.15

Moltiplica $5$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.16

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.17

Moltiplica $- 27$ per $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Passaggio 5.2.2.18

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 1$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

$625$ e $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.1.2

$\frac{625}{2}$ e $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 1500 t^{6}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $2$ da $1350 t^{4}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 540 t^{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Passaggio 5.2.4.5

$\frac{1}{2}$ e $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 1$

Passaggio 5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 2}{2}$

Passaggio 5.5

Somma $81$ e $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{83}{2}$