Calcolo Esempi

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - 2 y = {(x + 1)}^{4}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x + 1$ ciascun termine in $(x + 1) \frac{d y}{d x} - 2 y = {(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{4}}{x + 1}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{4}$ e $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}{(x + 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = \frac{{(x + 1)}^{3}}{1}$

Passaggio 1.3.2.4

Dividi ${(x + 1)}^{3}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{- 2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{- 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{- 2}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 2}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{- 2}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Passaggio 2.2.5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(x + 1)}^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{- 2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{- 2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.4

$\frac{2}{x + 1}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x + 1}$ per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.5.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.2.5.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Passaggio 7.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Passaggio 7.4

Semplifica.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.3

Per scrivere $x {(x + 1)}^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.4

$x {(x + 1)}^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.6

Scomponi $x {(x + 1)}^{2}$ da $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.6.1

Scomponi $x {(x + 1)}^{2}$ da $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.6.2

Scomponi $x {(x + 1)}^{2}$ da $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.6.3

Scomponi $x {(x + 1)}^{2}$ da $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.7

Per scrivere $C {(x + 1)}^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.8.1

$C {(x + 1)}^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.9.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.9.1.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9.1.2

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9.1.3

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Passaggio 8.4.2.1.9.5

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$