Calcolo Esempi

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$8 y d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 8 y d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int y d y = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.3.1.3

Combina.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

Passaggio 3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

Passaggio 3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per scrivere $\frac{K}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{K}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

Passaggio 3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

Passaggio 3.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x^{2} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Passaggio 3.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Passaggio 3.3.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ come $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.8

Combina.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ per $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.11.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.3.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 3.3.11.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 3.3.11.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.11.6

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.3.11.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.3.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.11.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.11.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.11.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.11.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.11.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 3.3.11.7.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.12

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.13

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.13.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.3.13.2

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Passaggio 3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Passaggio 3.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$