Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x + 3 y}$ $y (0) = 0$

Passaggio 1

Sia $v = e^{2 x + 3 y}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{2 x + 3 y}$ con $v$ .

$\frac{d y}{d x} = v$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d x}$ differenziando $e^{2 x + 3 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Passaggio 2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + 3 y')$

Passaggio 3

Sostituisci $v$ a $e^{2 x + 3 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + 3 y')$

Passaggio 4

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} - \frac{2}{3} = v$

Passaggio 5

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Risolvi per $\frac{d v}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $\frac{2}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v + \frac{2}{3}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica ogni lato per $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v) = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Semplifica $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 v$ .

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1

Semplifica $(v + \frac{2}{3}) (3 v)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} = v (3 v) + \frac{2}{3} (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{2}{3} (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{2}{3} (3 v)$

Passaggio 5.1.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + 2 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.4

Moltiplica $v$ per $v$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.2.1.4.1

Sposta $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 (v \cdot v) + 2 v$

Passaggio 5.1.3.2.1.4.2

Moltiplica $v$ per $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v^{2} + 2 v$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 v^{2} + 2 v}$ .

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} (3 v^{2} + 2 v)$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $3 v^{2} + 2 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} (3 v^{2} + 2 v)$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} d v = 1 d x$

Passaggio 6

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} d v = \int d x$

Passaggio 6.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $v$ da $3 v^{2} + 2 v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1.1

Scomponi $v$ da $3 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (3 v) + 2 v}$

Passaggio 6.2.1.1.1.2

Scomponi $v$ da $2 v$ .

$\frac{1}{v (3 v) + v \cdot 2}$

Passaggio 6.2.1.1.1.3

Scomponi $v$ da $v (3 v) + v \cdot 2$ .

$\frac{1}{v (3 v + 2)}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $v (3 v + 2)$ .

$\frac{1 (v (3 v + 2))}{v (3 v + 2)} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (v (3 v + 2))}{v (3 v + 2)} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (3 v + 2)}{3 v + 2} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $3 v + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (3 v + 2)}{3 v + 2} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (3 v + 2)$ per $1$ .

$1 = A (3 v + 2) + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A (3 v) + A \cdot 2 + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = 3 A v + A \cdot 2 + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6.4

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 3 A v + 2 A + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.1.6.5

Dividi $B v$ per $1$ .

$1 = 3 A v + 2 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = 3 v A + 2 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7.2

Riordina $B$ e $v$ .

$1 = 3 v A + 2 A + B v$

Passaggio 6.2.1.1.7.3

Sposta $2 A$ .

$1 = 3 v A + B v + 2 A$

Passaggio 6.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $v$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $v$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A$

Passaggio 6.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

Passaggio 6.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 A = 1$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Passaggio 6.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 3 A + B$ con $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.2.1

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{3}{2} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.3.2

Sottrai $\frac{3}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{2 v} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 v + 2}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{3 v + 2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 v} - \frac{3}{(3 v + 2) \cdot 2}$

Passaggio 6.2.1.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $3 v + 2$ .

$\int \frac{1}{2 v} - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{2 v} d v + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.4

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $v$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Passaggio 6.2.6

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $v$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{3 v + 2} d v) = \int d x$

Passaggio 6.2.7

Sia $u_{2} = 3 v + 2$ . Allora $d u_{2} = 3 d v$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = d v$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Sia $u_{2} = 3 v + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.1

Differenzia $3 v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 2]$

Passaggio 6.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 v + 2$ rispetto a $v$ è $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 6.2.7.1.3

Calcola $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $3 v$ rispetto a $v$ è $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 6.2.7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ è $n v^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 6.2.7.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [2]$

Passaggio 6.2.7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $v$ , la derivata di $2$ rispetto a $v$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 6.2.7.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 6.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.8.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Passaggio 6.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.10.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.10.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 6.2.11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Passaggio 6.2.12

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 6.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 6.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Passaggio 7

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Passaggio 7.1.1.2

$\ln (| u_{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$

Passaggio 7.2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$ per $2$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}$ nel numeratore.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Passaggio 7.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 2 x + 2 C$

Passaggio 7.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 2 x + 2 C$

Passaggio 7.4

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 2 x + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Passaggio 7.6

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica ogni lato per $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| v | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Passaggio 7.6.4

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 7.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 8

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$v = \pm | u_{2} | e^{2 x + C}$

Passaggio 8.2

Riscrivi $e^{2 x + C}$ come $e^{2 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{2 x} e^{C})$

Passaggio 8.3

Riordina $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{2 x})$

Passaggio 8.4

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C | u_{2} | e^{2 x}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $e^{2 x + 3 y}$ .

$e^{2 x + 3 y} = C | u_{2} | e^{2 x}$

Passaggio 10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 x + 3 y}) = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Passaggio 10.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Espandi $\ln (e^{2 x + 3 y})$ spostando $2 x + 3 y$ fuori dal logaritmo.

$(2 x + 3 y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Passaggio 10.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(2 x + 3 y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $2 x + 3 y$ per $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Passaggio 10.3

Espandi il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi $\ln (C | u_{2} | e^{2 x})$ come $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |)$ come $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$

Passaggio 10.3.3

Espandi $\ln (e^{2 x})$ spostando $2 x$ fuori dal logaritmo.

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x \ln (e)$

Passaggio 10.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x \cdot 1$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x$

Passaggio 10.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 2 x$

Passaggio 10.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 2 x - 2 x$

Passaggio 10.5.2

Combina i termini opposti in $\ln (C | u_{2} |) + 2 x - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Passaggio 10.5.2.2

Somma $\ln (C | u_{2} |)$ e $0$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |)$

Passaggio 10.6

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 10.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 10.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 11

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$ .

$0 = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 12

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$\ln (C | u_{2} |) = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi l'equazione per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Per risolvere per $C$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (C | u_{2} |)} = e^{0}$

Passaggio 12.2.2

Riscrivi $\ln (C | u_{2} |) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{2} |$

Passaggio 12.2.3

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Riscrivi l'equazione come $C | u_{2} | = e^{0}$ .

$C | u_{2} | = e^{0}$

Passaggio 12.2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$C | u_{2} | = 1$

Passaggio 12.2.3.3

Dividi per $| u_{2} |$ ciascun termine in $C | u_{2} | = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.3.1

Dividi per $| u_{2} |$ ciascun termine in $C | u_{2} | = 1$ .

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Passaggio 12.2.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Passaggio 12.2.3.3.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{2} |}$

Passaggio 13

Sostituisci $\frac{1}{| u_{2} |}$ a $C$ in $y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci $\frac{1}{| u_{2} |}$ a $C$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}{3}$

Passaggio 13.2

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$ .

$y = \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$

Passaggio 13.3

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$y = \ln ({(\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 13.4

Elimina il fattore comune di $| u_{2} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \ln ({(\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \ln (1^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 13.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \ln (1)$

Passaggio 13.6

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$y = 0$