Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{4}}$ rispetto a $x$ è $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ come $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $8$ in $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$12 \cdot 1 + K = 8$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 + K = 8$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 8 - 12$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $12$ da $8$ .

$K = - 4$

Passaggio 5

Sostituisci $- 4$ a $K$ in $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 4$ a $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$