Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2 x}{y} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{x^{2}}$ nel numeratore.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{- 1}{x}$ e $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Passaggio 3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Passaggio 5.3

Sottrai $\ln (x^{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

Passaggio 5.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi $\ln (| y |)$ per $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Dividi $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

Passaggio 5.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

Passaggio 5.6

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

Passaggio 5.7

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

Passaggio 5.8

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Passaggio 5.9

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Passaggio 5.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Passaggio 5.9.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{- C} x^{2}$

Passaggio 5.9.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{- C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{- C}$

Passaggio 5.9.4

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm x^{2} C$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C x^{2}$