Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x$ da $\frac{x}{y} - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $x$ da $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- y$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

Passaggio 1.2.4

$- y$ e $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

Passaggio 1.2.6.2

Riscrivi $y \cdot y$ come $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

Passaggio 1.2.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$x$ e $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $(1 + y) (1 - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $(1 + y) (1 - y)$ da $x ((1 + y) (1 - y))$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = (1 + y) (1 - y)$ . Allora $d u = - 2 y d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = (1 + y) (1 - y)$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = 1 + y$ e $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.6.3

Riscrivi $- 1 (1 + y)$ come $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.2.1.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.2.1.1.3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.11

Moltiplica $1 - y$ per $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Passaggio 2.2.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Passaggio 2.2.1.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$- y + 0 - y$

Passaggio 2.2.1.1.4.2.3

Somma $- y$ e $0$ .

$- y - y$

Passaggio 2.2.1.1.4.2.4

Sottrai $y$ da $- y$ .

$- 2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Espandi $(1 + y) (1 - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $- y$ per $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Somma $- y$ e $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.3

$\ln (| 1 - y^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.1.1.5.2

Moltiplica $\ln (| 1 - y^{2} |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ .

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.4.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ come $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.5.4.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

Passaggio 3.5.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{- x^{2} + C}$ come $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{- x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$