Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 y - 4 x$

Passaggio 1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = - 4 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 2 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 2 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = - 4 x e^{- 2 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = - 4 x e^{- 2 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 2 x} y = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int x e^{- 2 x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$x$ e $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Passaggio 7.7

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 7.7.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 7.7.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 7.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Passaggio 7.8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 7.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Passaggio 7.10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 7.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Passaggio 7.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.13.1

Riscrivi $- 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ come $- 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.13.2.1

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2.2

$e^{- 2 x}$ e $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Passaggio 7.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ nel numeratore.

$e^{- 2 x} y = - 4 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15.2.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (- 2) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15.2.3

Elimina il fattore comune.

$e^{- 2 x} y = 2 \cdot - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 2 x} y = - 2 (- e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Passaggio 7.15.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.15.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ nel numeratore.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 7.15.4.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 7.15.4.3

Elimina il fattore comune.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Passaggio 7.15.4.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - - e^{- 2 x} + C$

Passaggio 7.15.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 1 e^{- 2 x} + C$

Passaggio 7.15.6

Moltiplica $e^{- 2 x}$ per $1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + e^{- 2 x} + C$

Passaggio 7.15.7

Riordina i fattori in $2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- 2 x}$ ciascun termine in $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- 2 x}$ ciascun termine in $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$