Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

Passaggio 1.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 1}{x}$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{x}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y x |) = C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (| y x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Passaggio 3.6.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{C}$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $y x = \pm e^{C}$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{x}$