Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x y = x^{3} - x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 x y = x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x y}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (3 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{x}{1} + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.4

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x + \frac{- x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = x - 1$

Passaggio 1.6

Scomponi $y$ da $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = x - 1$

Passaggio 1.7

Riordina $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = x - 1$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{3 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{3}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.2

Somma $3$ e $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} + x^{3} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} - 1 \cdot x^{3}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{4} - x^{3}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = x^{4} - x^{3}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int x^{4} - x^{3} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{3} y = \int x^{4} - x^{3} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{3} y = \int x^{4} d x + \int - x^{3} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{3} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{3} d x$

Passaggio 7.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{3} (\frac{1}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{5} x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.2

$\frac{1}{5}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{4} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Scomponi $x^{3}$ da $- \frac{1}{4} x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{4} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{4} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.3.2.4

Dividi $- \frac{1}{4} x$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{4} x + \frac{C}{x^{3}}$

Passaggio 8.3.1.4

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} - \frac{x}{4} + \frac{C}{x^{3}}$