Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 5 y + y^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{5 y + y^{2}}$ .

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + y^{2}} (5 y + y^{2})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $5 y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + y^{2}} (5 y + y^{2})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{5 y + y^{2}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $y$ da $5 y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1.1

Scomponi $y$ da $5 y$ .

$\frac{1}{y \cdot 5 + y^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 5 + y \cdot y}$

Passaggio 2.2.1.1.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 5 + y \cdot y$ .

$\frac{1}{y \cdot (5 + y)}$

Passaggio 2.2.1.1.1.4

Moltiplica $y$ per $5 + y$ .

$\frac{1}{y (5 + y)}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $y (5 + y)$ .

$\frac{1 (y (5 + y))}{y (5 + y)} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y (5 + y))}{y (5 + y)} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (5 + y)}{5 + y} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $5 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (5 + y)}{5 + y} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.6.1.2

Dividi $A (5 + y)$ per $1$ .

$1 = A (5 + y) + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 5 + A y + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di $A$ .

$1 = 5 \cdot A + A y + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $5 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = 5 A + A y + \frac{B (y (5 + y))}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.1.6.4.2

Dividi $(B) (y)$ per $1$ .

$1 = 5 A + A y + (B) (y)$

$1 = 5 A + A y + B y$

Passaggio 2.2.1.1.7

Sposta $5 A$ .

$1 = A y + B y + 5 A$

Passaggio 2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 5 A$

Passaggio 2.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = 5 A$

$0 = A + B$

$1 = 5 A$

Passaggio 2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = 5 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $5 A = 1$ .

$5 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 A = 1$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 A}{5} = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{5}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $\frac{1}{5}$ .

$0 = (\frac{1}{5}) + B$

$A = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = \frac{1}{5} + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{5} + B = 0$ .

$\frac{1}{5} + B = 0$

$A = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Sottrai $\frac{1}{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{1}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.2.1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = - \frac{1}{5} A = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = - \frac{1}{5}, A = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y} + \frac{B}{5 + y}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{5}}{y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{5 y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{5 y} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5 + y}$

Passaggio 2.2.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{5 + y}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 y} - \frac{1}{(5 + y) \cdot 5}$

Passaggio 2.2.1.5.5

Sposta $5$ alla sinistra di $5 + y$ .

$\int \frac{1}{5 y} - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{5 y} d y + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \int \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{5 + y} d y) = \int d x$

Passaggio 2.2.7

Sia $u = 5 + y$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sia $u = 5 + y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1.1

Differenzia $5 + y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + y]$

Passaggio 2.2.7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.7.1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2.7.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.2.7.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Passaggio 2.2.9

Semplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 + y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) + C_{3} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) = x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

$\frac{1}{5}$ e $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) = x + C$

Passaggio 3.1.1.2

$\ln (| 5 + y |)$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $5$ ciascun termine in $\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$ per $5$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} \cdot 5 - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (| y |)}{5} \cdot 5 - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 5 + y |)}{5}$ nel numeratore.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = 5 x + 5 C$

Passaggio 3.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |}) = 5 x + 5 C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |})} = e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |}) = 5 x + 5 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 5 C} = \frac{| y |}{| 5 + y |}$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| 5 + y |} = e^{5 x + 5 C}$ .

$\frac{| y |}{| 5 + y |} = e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica ogni lato per $| 5 + y |$ .

$\frac{| y |}{| 5 + y |} | 5 + y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| 5 + y |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| 5 + y |} | 5 + y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Passaggio 3.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Passaggio 3.6.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ .

$e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$

Passaggio 3.6.4.2

Dividi per $e^{5 x + 5 C}$ ciascun termine in $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.2.1

Dividi per $e^{5 x + 5 C}$ ciascun termine in $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ .

$\frac{e^{5 x + 5 C} | 5 + y |}{e^{5 x + 5 C}} = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Passaggio 3.6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 x + 5 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{5 x + 5 C} | 5 + y |}{e^{5 x + 5 C}} = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Passaggio 3.6.4.2.2.1.2

Dividi $| 5 + y |$ per $1$ .

$| 5 + y | = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Passaggio 3.6.4.3

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$- (5 + y) = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$- (5 + y) = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

Passaggio 3.6.4.4

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

Passaggio 3.6.4.5

Risolvi $5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.1

Moltiplica ogni lato per $e^{5 x + 5 C}$ .

$(5 + y) e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.2.1.1

Semplifica $(5 + y) e^{5 x + 5 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 e^{5 x + 5 C} + y e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.5.2.1.1.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Riordina $5 x$ e $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Riordina $5 x$ e $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Riordina $5 e^{5 C + 5 x}$ e $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 x + 5 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = y$

Passaggio 3.6.4.5.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} - y = 0$

Passaggio 3.6.4.5.3.2

Sottrai $5 e^{5 C + 5 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{5 C + 5 x} - y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.5.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{5 C + 5 x} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.3.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} - y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.5.3.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y \cdot - 1 = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.5.3.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{5 C + 5 x} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.5.3.4

Dividi per $e^{5 C + 5 x} - 1$ ciascun termine in $y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.3.4.1

Dividi per $e^{5 C + 5 x} - 1$ ciascun termine in $y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ .

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} - 1)}{e^{5 C + 5 x} - 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Passaggio 3.6.4.5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 C + 5 x} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} - 1)}{e^{5 C + 5 x} - 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Passaggio 3.6.4.5.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Passaggio 3.6.4.5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.5.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Passaggio 3.6.4.6

Risolvi $5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.1

Moltiplica ogni lato per $e^{5 x + 5 C}$ .

$(5 + y) e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.2.1.1

Semplifica $(5 + y) e^{5 x + 5 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 e^{5 x + 5 C} + y e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2.1.1.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Riordina $5 x$ e $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Riordina $5 x$ e $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 C + 5 x} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Riordina $5 e^{5 C + 5 x}$ e $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 x + 5 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ nel numeratore.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{- y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{- y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Passaggio 3.6.4.6.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = - y$

Passaggio 3.6.4.6.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.3.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} + y = 0$

Passaggio 3.6.4.6.3.2

Sottrai $5 e^{5 C + 5 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.6.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{5 C + 5 x} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.3.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.6.3.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.6.3.3.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y \cdot 1 = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.6.3.3.4

Scomponi $y$ da $y e^{5 C + 5 x} + y \cdot 1$ .

$y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Passaggio 3.6.4.6.3.4

Dividi per $e^{5 C + 5 x} + 1$ ciascun termine in $y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.3.4.1

Dividi per $e^{5 C + 5 x} + 1$ ciascun termine in $y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ .

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} + 1)}{e^{5 C + 5 x} + 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Passaggio 3.6.4.6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{5 C + 5 x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} + 1)}{e^{5 C + 5 x} + 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Passaggio 3.6.4.6.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Passaggio 3.6.4.6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.6.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Passaggio 3.6.4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$y = - \frac{5 e^{5 x + C}}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4.3

Riscrivi $e^{5 x + C}$ come $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{5 x} e^{C})}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4.6

Riscrivi $e^{5 x + C}$ come $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Passaggio 4.7

Riordina $e^{5 x}$ e $e^{C}$ .