Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y - 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (y - 3)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (y - 3)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y - 3} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 3$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y - 3 |) = x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y - 3 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y - 3 | = e^{x + C}$ .

$| y - 3 | = e^{x + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{x + C}$

Passaggio 3.3.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{x + C} + 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{x + C}$ come $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} + 3$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} + 3$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{x} + 3$